そろばん

The soroban (算盤, そろばん?, counting tray) is an abacus developed in Japan. It is derived from the suanpan, imported from China to Japan around 1600.[1] Like the suanpan, the soroban is still used today, despite the proliferation of practical and affordable pocketelectronic calculators.


http://en.wikipedia.org/wiki/Soroban

La librería Gnu Multiple Precision (GMP)

La librería Gnu Multiple Precision (GMP) permite hacer cálculos de precisión arbitraria.

En el sitio de GMP viene un código de referencia que permite calcular pi hasta donde le alcance la memoria a la maquina.

Para construir la librería bajo mingw y Windows XP solo hay que seguir las instrucciones. Único detalle a tomar en cuenta es que /usr en mingw esta mapeado al directorio raíz de msys.

Posicionarse en el directorio raíz de la librería y seguir al secuencia del make

./configure
make
make check
make install

Ver el make trabajar es espeluznante, más de 10 minutos de pantallas can parámetros. Sin embargo hay puertos disponibles para .Net, aunque de la versión 4.1.

Para usar la librería podemos tomar como ejemplo el programa para calcular pi.

gcc -c gmp-chudnovsky.c -I/local/include
gcc -o gmp-chudnovsky.exe gmp-chudnovsky.o -L/local/lib -lgmp
gmp-chudnovsky.exe 50 1

Existe un puerto actualizado para Visual Studio 2005 disponible en la pagina Building GMP and MPFR with Microsoft Visual Studio 2005 and YASM. Hay que seguir las instrucciones del ReadMe con cuidado y al final aunque se generan warnings se construyen bien las librerías. Un paso que no esta claro del readme es que hacer con el archivo mparam_h.in. Yo simplemente lo renombre mparam.h.

El archivo gmp-chudnovsky.c del sitio de gmp necesita modificarse para usarlo en Visual Studio. Es necesario agregar las lineas de código:

#ifdef _MSC_VER
#define inline __inline
#endif

En la configuración del proyecto hay que agregar el directorio donde esta gmp.h y donde esta la librería que se quiera usar ademas de agregar la referencia a gmp.lib

Referencias

“Many Digits” Friendly Competition , Programas usados por el equipo de MPFR.

The MPFR Library

GMPY Project goals and strategies

Advanced Computation Group

Multiprecision floating-point arithmetic on Apple systems

Guile Extensions and Examples – Summary

AlgLibNet

Genius Math Tool and the GEL Language

Giac/Xcas

Computer algebra system

iRRAM – Exact Arithmetic in C++

MAGMA Computational Algebra System

SAGE is Open Source Mathematics Software

Wcalc

Numbers, constants, and computation

La librería Gnu Multiple Precision (GMP)

La librería Gnu Multiple Precision (GMP) permite hacer cálculos de precisión arbitraria.

En el sitio de GMP viene un código de referencia que permite calcular pi hasta donde le alcance la memoria a la maquina.

Para construir la librería bajo mingw y Windows XP solo hay que seguir las instrucciones. Único detalle a tomar en cuenta es que /usr en mingw esta mapeado al directorio raíz de msys.

Posicionarse en el directorio raíz de la librería y seguir al secuencia del make

./configure
make
make check
make install

Ver el make trabajar es espeluznante, más de 10 minutos de pantallas can parámetros. Sin embargo hay puertos disponibles para .Net, aunque de la versión 4.1.

Para usar la librería podemos tomar como ejemplo el programa para calcular pi.

gcc -c gmp-chudnovsky.c -I/local/include
gcc -o gmp-chudnovsky.exe gmp-chudnovsky.o -L/local/lib -lgmp
gmp-chudnovsky.exe 50 1

Existe un puerto actualizado para Visual Studio 2005 disponible en la pagina Building GMP and MPFR with Microsoft Visual Studio 2005 and YASM. Hay que seguir las instrucciones del ReadMe con cuidado y al final aunque se generan warnings se construyen bien las librerías. Un paso que no esta claro del readme es que hacer con el archivo mparam_h.in. Yo simplemente lo renombre mparam.h.

El archivo gmp-chudnovsky.c del sitio de gmp necesita modificarse para usarlo en Visual Studio. Es necesario agregar las lineas de código:

#ifdef _MSC_VER
#define inline __inline
#endif

En la configuración del proyecto hay que agregar el directorio donde esta gmp.h y donde esta la librería que se quiera usar ademas de agregar la referencia a gmp.lib

Referencias


“Many Digits” Friendly Competition , Programas usados por el equipo de MPFR.

The MPFR Library

GMPY Project goals and strategies

Advanced Computation Group

Multiprecision floating-point arithmetic on Apple systems

Guile Extensions and Examples – Summary

AlgLibNet

Genius Math Tool and the GEL Language

Giac/Xcas

Computer algebra system

iRRAM – Exact Arithmetic in C++

MAGMA Computational Algebra System

SAGE is Open Source Mathematics Software

Wcalc

Numbers, constants, and computation

Internet y la ciencia

Con solo una PC y conexión a Internet es posible participar en esfuerzos científicos de alcance global.

Explorar el universo

En el sitio www.galaxyzoo.org puedes ayudar a los astrónomos a explorar el universo. El sitio contiene un cuarto de millón de imágenes obtenidas por un telescopio robótico ( Sloan Digital Sky Survey) y voluntarios pueden ayudar a clasificar las imágenes.

La búsqueda de número primos

 GIMPS provee programas que se pueden usar como screen savers y buscan números primos. Inclusive hay recompensa económica para motivar el desarrollo de esta tecnología a través de EFF Cooperative Computing Awards para el que encuentre primero:

La aritmética de Trachtenberg

Así como Viktor Emil Frankl desarrollo la logoterapia para superar los rigores de los campos de concentración Nazi, Jakow Trachtenberg ocupo su mente en desarrollar un sistema de aritmética mental al verse en la misma situación.

El sistema Trachtenberg de rápido cálculo mental, similar a las matemáticas Védicas, consiste en un conjunto de patrones para realizar operaciones aritméticas. Los algoritmos más importantes son multiplicación,división, y adición. El método también incluye algoritmos especializados para realizar multiplicaciones por números entre 5 y 13.

Multiplicación por 11

Abusando de la notación

(11)a = 11Σai10i =

an10n+1 + [Σj=0n-1(aj+aj+1)10j ]+ a0

Multiplicación por 12

(12)a = 12Σai10i =

an10n+1 + [Σj=0n-1 (aj+2aj+1)10j ]+ 2a0

Multiplicación por 6

Definiendo

bj = aj/2, donde / denota división entera

cj = aj mod 2

tenemos

aj = 2bj + cj

(6)a = (10/2)Σai10i  + Σai10i =

Σbi10i+1 + Σ(ai + 5ci)10i

bn10n+1 + [Σj=1n(aj + 5cj + bj-1)10j ]+ (a0 + 5c0)

Expresando el algoritmo en python:

def x6(number):
previous = 0
result = 0
power_of_10 = 1
while (number):
digit = number%10
odd_term = 5 if digit%2 else 0
result =
(digit + odd_term + previous ) *
power_of_10 + result
previous = digit//2
power_of_10 *= 10
number = number // 10
result = previous * power_of_10 + result
return result

Multiplicación por 7

De manera similar al caso anterior:

aj = 2bj + cj

(7)a = (10/2)Σai10i  + Σ2ai10i =

Σbi10i+1 + Σ(2ai + 5ci)10i

bn10n+1 + [Σj=1n(2aj + 5cj + bj-1)10j ]+ (a0 + 5c0)

Expresando el algoritmo en python:

def x7(number):
previous = 0
result = 0
power_of_10 = 1
while (number):
digit = number%10
odd_term = 5 if digit%2 else 0
result =
(2*digit + odd_term + previous ) *
power_of_10 + result
previous = digit//2
power_of_10 *= 10
number = number // 10
result = previous * power_of_10 + result
return result

Multiplicación por 5

De manera similar al caso anterior:

aj = 2bj + cj

(5)a = (10/2)Σai10i   =

Σbi10i+1 + Σ(5ci)10i

bn 10n+1 + [Σj=1n(5cj + bj-1)10j ]+ (5c0)

Expresando el algoritmo en python:

def x5(number):
previous = 0
result = 0
power_of_10 = 1
while (number):
digit = number%10
odd_term = 5 if digit%2 else 0
result =
(odd_term + previous ) *
power_of_10 + result
previous = digit//2
power_of_10 *= 10
number = number // 10
result = previous * power_of_10 + result
return result

Multiplicación por 9

Definiendo

b = 10n+1 – Σj=0naj , o sea el complemento a 10 de a

tenemos

(9)a = 10a –a =

10a –a + b – b =

10a + b – 10n+1 =

(an – 1)10n+1 + [Σj=1n(bj + aj-1)10j ]+ (b0 )

Expresando el algoritmo en python:

def x9(number):
previous = number%10
result = 10 - previous
power_of_10 = 10
number = number // 10
while (number):
digit = number%10
result =
(9 - digit + previous ) *
power_of_10 + result
previous = digit
power_of_10 *= 10
number = number // 10
result =
(previous-1) * power_of_10 +
result
return result

Multiplicación por 8

Definiendo

b = 10n+1 – Σj=0naj , o sea el complemento a 10 de a

tenemos

(8)a = 10a –2a =

10a –2a +2 b – 2b =

10a + 2b – (2)10n+1 =

(an – 2)10n+1 + [Σj=1n(2bj + aj-1)10j ]+ (2b0 )

Expresando el algoritmo en python:

def x8(number):
previous = number%10
result = 2*(10 - previous)
power_of_10 = 10
number = number // 10
while (number):
digit = number%10
result =
(2*(9 - digit) + previous ) *
power_of_10 + result
previous = digit
power_of_10 *= 10
number = number // 10
result =
(previous-2) *
power_of_10 + result
return result

Multiplicación por 3 y por 4

Los algoritmos para multiplicar por 3 y por 4 combinan las ideas usadas en la multiplicación por 5 y por 9.

Definiendo

b = 10n+1 – Σj=0naj , o sea el complemento a 10 de a

ai = 2ci + di, donde

ci = ai/2

di = ai mod 2

tenemos

(4)a = 5a –a =

10c + 5d + b – 10n+1

(3)a = 5a –2a =

10c + + 5d + 2b – (2)10n+1

Expresando los algoritmos en python:

def x3(number):
digit = number%10
result = 2*(10 - digit)
if digit % 2:
result += 5
previous = digit // 2
power_of_10 = 10
number = number // 10
while (number):
digit = number%10
odd_term = 5 if digit%2 else 0
result +=(2*(9 - digit) + odd_term + previous ) * power_of_10
previous = digit//2
power_of_10 *= 10
number = number // 10
result = (previous-2) * power_of_10 + result
return result

def x4(number):
digit = number%10
result = (10 - digit)
if digit % 2:
result += 5
previous = digit // 2
power_of_10 = 10
number = number // 10
while (number):
digit = number%10
odd_term = 5 if digit%2 else 0
result +=((9 - digit) + odd_term + previous ) * power_of_10
previous = digit//2
power_of_10 *= 10
number = number // 10
result = (previous-1) * power_of_10 + result
return result

Referencias

La búsqueda de número primos

La búsqueda de número primos (GIMPS Home Page).

Inclusive hay recompensa económica para motivar el desarrollo de esta tecnología a través de EFF Cooperative Computing Awards para el que encuentre primero:

$50,000 por el primer número primo con más de 1,000,000 dígitos decimales ( Apr. 6, 2000)
$100,000 por el primer número primo con más de 10,000,000 dígitos decimales
$150,000 por el primer número primo con más de 100,000,000 dígitos decimales
$250,000 por el primer número primo con más de 1,000,000,000 dígitos decimales

Actualmente el primo más grande que se conoce es el primo Mersenne 44, 232,582,657-1, un número de 9,808,358 digitos así que el premio de los 100,000 dolares pudiera estar cerca.

¿Se podrá hacer algo mejor con tu PC que correr screen savers y tenerla esperando a que teclees la siguiente letra?


La historia de π (pi)

Una de las experiencias más satisfactorias para mi ha sido leer A history of PI de Petr Beckmann.

Aunque los logros específicos del saber humano se dan a través de individuos al ver la historia el contexto social parece ser determinante para el desarrollo tecnológico y el entendimiento científico. Como dijo alguien con respecto a la bomba atómica:

 El secreto es saber que se puede hacer.

Por otro lado, los genios son cosa rara. Consideramos el siglo veinte y lo que va del veintiuno como superiores al resto de la historia humana en términos de entendimiento científico y avance tecnológico pero tal vez todavía no terminamos de aprehender lo que Newton percibió y plasmo en su obra hace 300 años.

Pi es interesante porque el circulo es interesante. El circulo es una forma ideal abstracta que no existe en la realidad pero también es la forma de muchos objetos de la vida diaria.

Algunas personas pueden entender que un objeto redondo es aproximadamente circular pero que si medimos con suficiente precisión no hay círculos perfectos en el mundo. Para algunos lograr este salto de abstracción no es una posibilidad y logran demostrar que pi es igual 20612/6561, que en términos prácticos, en términos de medir una mesa, o rebanar un pastel esta más que bien, pero en términos de capacidad de desarrollar tecnología, por ponerlo de alguna manera, es un callejón sin salida. La practicidad es un duende travieso que nos permite salir adelante ante los retos de la vida pero que si nos descuidamos nos lleva por los senderos del estancamiento y de la corrupción. Empecemos por valorar a los que pueden, tratemos de entender. El primer paso, según alcohólicos anónimos es aceptar el problema. La educación es el camino, trabajemos para que nuestros niños sepan observar, pensar, discutir, y hacer, no para que sean científicos, sino para que todos vivamos mejor.

Un lector del libro de Beckmann comparte su frustración en Internet:

I think my main problem with the book is that I was looking for an interesting narrative that explores the impact of pi from a cultural and personal point of view. What I got was a mathematical primer on pi, heavy on formulas, charts and graphs, peppered with bland historical facts easily obtained from general knowledge history books and encyclopedias.

Es curioso el comentario porque el libro es ameno, atestiguado por sus ventas, y las matemáticas son un lenguaje para hablar de cosas como pi, es decir son parte de la narrativa. Parece que la comunicación entre el hemisferio izquierdo y el derecho del cerebro no es tan fácil. Para algunos, como Pitágoras, los números son mágicos y su manipulación un camino para controlar el destino.

Volviendo a pi, veamos como expresarlo como una fracción.

Empecemos con una aproximación
pi=3.141592653589793+.
=
3 + 0.14159…

Tomado el reciproco de la parte fraccionaria
1
3 + ————
7.06251…

Iterando el procedimiento
1
3 + —————-
7 + 0.06251…

1
3 + ——————-
1
7 + ————-
15.99658…

Si la parte decimal es mayor a .5 podemos acercarnos por arriba
1
3 + —————————
1
7 + ———————
1
16 – ————–
292.98696…

Simplificando

1
3 + ———-
1
7 + —-
16

1
3 + ——-
113
—–
16

16
3 + —–
113

335
—–
113

Las primeas cuatro aproximaciones a pi corresponden con valores históricos;

3/1 3.000000000000000
22/7 3.142857142857143
355/113 3.141592920353983
104348/33215 3.141592653921421

Referencias: